On appelle développement limité de \(f\) en \(a\) d'ordre \(n\) les formules du type:
$$f(x)={{f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\circ((x-a)^n)}}$$
\(\triangleright\) Définition développement limité:
Soit \(I=]\alpha, \beta[, a\in I\), \(f\) une fonction définie sur \(I\) ou sur \(I\setminus \{a\}\). La fonction \(f\) a un développement limité en \(a\) à l'ordre \(n\) s'il existe une fonction \(\epsilon(x)\) sur \(]\alpha,\beta[\) et des coefficient réels \(c_0,.;;c_n\) tels que:
$$f(x)={{c_0+c_1(x-a)+...+c_n(x-a)^n+(x-a)^n\epsilon(x)}}$$
Pour \(\forall x\in ]\alpha, \beta[\setminus \{a\}\) et \(\underset{x\to a}\lim \epsilon(x)=0\)
\(\triangleright\) Conséquences 1 développement limité
Si \(f\) admet un D.L. En \(a\) à l'odre \(n\)- \(f\) admet un D.L. En \(a\) à tout ordre \(k\leq n\)
- \(f\) est définie et continue en \(a\) et peut se prolonger par continuité
\(\triangleright\) Conséquences 2 développement limité
Soit \(f\) admet un D.L. En \(a\) à l'ordre \(n\)- Si \(n\geq 1\), \(f\) est nécessairement dérivable en \(a\) et \(f(a)=c_0\) et \(f'(a)=c_1\)
- Les coefficients \(c_0,...c_n\) sont uniquement déterminés
- Si \(f\) est paire, les coefficients \(c_{2k+1}\) sont nuls en \(a=0\)
- Si \(f\) est impaire, les coefficients \(C_{2k}\) sont nuls en \(a=0\)
\(\longrightarrow\) Démonstrations:
Pasted image 20220315094233.png
Pasted image 20220315094253.png
Développements limités usuels
Opérations sur les Développements Limités
\(\triangleright\) Partie linéaire du D.L. Avec vecteur gradient
Gradient
Soit \(\overrightarrow{\Delta M}= h\vec i+k\vec j+l\vec k\)
Le partie linéaire du développement limité à l'ordre 1 en \(M_0\) peut s'écrire
$$\begin{align}&\frac{\partial f}{\partial x}(M)h+\frac{\partial f}{\partial y}(M)k+\frac{\partial f}{\partial z}(M)l\\ &=\overrightarrow{\mathcal{grad} (f)_{M_0} }.\overrightarrow{\Delta M}\end{align}$$
